吴富伟，董文润，黄益昌
（1.上海理工大学光电信息与计算机工程学院，上海 200093；2.天信仪表集团有限公司，浙江 温州 325800）
摘 要 用于贸易计量的气体流量计主要有速度式、容积式和差压式等，按照仪表特性和应用类型的要求，不同的应用场合需要使用不同类型的流量计。为了与这些不同类型的流量计配套使用，对多种流量计的流量计算数学模型以及如何将这些数学模型应用于体积修正仪中进行了研究。这些数学模型包括输出脉冲信号的涡轮、腰轮等速度式或容积式流量计的流量计算方法，以及孔板、喷嘴等差压式的一次装置流量计算数学模型，另外还对天然气、氮气和蒸汽等不同气体介质进行分析处理，对于含有幂函数等运算复杂的数学模型公式采用预先建立数据查询表格并使用线性插值计算的方法。通过对多种类型流量计数学模型的分析以及对复杂公式进行的的简化计算，在保证计算精度的同时提高了计算速度，使之能应用于低功耗的体积修正仪中。
关键词 流量计；脉冲输出；差压；数学模型；多介质；体积修正仪
中图分类号：th814 文献标识码：a
application of multi-media and multi-type flowmeter mathematical model
wu fuwei1,2 dong wenrun1,2
(1.school of optical-electrical and computer engineering, university of shanghai for science and technology, shanghai 200093, china;2.tancy instrument group co.,ltd, wenzhou 325800, china)
abstract gas meters for trade metering are mainly speed, volumetric and differential pressure, etc., in accordance with the instrument characteristics and application requirements, different applications require the use of different types of flowmeter. in order to be used with these different types of flowmeters, the mathematical models for calculating the flowrates of various flowmeters and how to apply these mathematical models to the volume conversion device have been studied. these mathematical models include the flowrate calculation method of the speed or volumetric flowmeter such as the turbine and the roots flowmeter which output the pulse signal and the flow calculation mathematical model of the differential pressure flowmeter such as the orifice and the nozzle. in addition, different gas media such as natural gas, nitrogen and steam are also analyzed and processed. for mathematical models containing complex arithmetics such as power functions, use pre-built data query table and use linear interpolation method. through the analysis of many types of flowmeter mathematical models and the simplified calculation of complicated formulas, the computational speed is improved while the computational accuracy is ensured, so that it can be applied to the low-power volume conversion device.
keywords gas meter; pulse output; differential pressure; mathematical model; multi-media; volume conversion device
0 引言
气体流量计是一种用于计量气体体积的装置，在民用、商业和工业场合都得到了广泛的应用。气体流量计量是气体输送工程中最重要的测量环节，它是企业进行贸易交接、经济分析以及降低运行成本的主要因素，直接影响企业的经济效益与用户利益[1]。根据被测管道气体的预期流量范围，被测气体的类型以及环境因素等，需要选用不同类型的气体流量计。
目前用于气体贸易计量的流量计按工作原理分类主要有速度式、容积式和差压式，速度式流量计包括涡轮、涡街、超声、旋进旋涡等流量计，容积式流量计包括腰轮流量计等，一般具备输出脉冲信号与二次装置（流量显示仪表）连接；差压式流量计或一次装置，如孔板、v锥、喷嘴和文丘里管等，则不同于上述输出脉冲信号的方式，通常是输出模拟信号与二次装置连接。
由于当前it技术的迅猛发展，流量显示仪表（下称体积修正仪）所采用的单片机运算能力越来越强大。根据目前的技术现状，体积修正仪可以同时实现多种介质、多种输入信号（脉冲信号、模拟信号等）的处理运算，即同一台体积修正仪能适用于不同介质、不同工作原理流量一次装置，所以有必要对多种流量计的数学模型进行研究。
1 脉冲式流量计数学模型
脉冲输出式流量计的气体流速通常与脉冲频率成正比关系，按照信号发生方式的不同有高频脉冲和低频脉冲两种信号形式。涡轮流量计通过计算转子的转速来测量流量，其中叶片与气流速度成正比[2]，涡轮流量计的高频脉冲信号通常取自叶轮或叶轮轴上的光栅盘，腰轮流量计的高频脉冲信号则取自腰轮转子，则操作条件下的瞬时流量为：
式中：
qv——操作条件下的瞬时流量，m3/h；
f——脉冲频率，hz；
k——仪表系数，m-3。
仪表系数k除与涡轮导程、叶片数、叶片宽度和螺旋升角等结构因素有关外，还与流体黏性、轴承阻尼和润滑油黏度等有关[3]。低频脉冲信号通过一套机械传动机构及磁耦合连接件传送到机械式计数器，操作条件下的瞬时流量为：
式中：
n——间隔时间内测得的脉冲数，无量纲；
tn——n个脉冲所占用的时间，s；
k——仪表系数，m-3。
贸易结算时需要将操作条件下的气体体积转换为标准状态下的气体体积，天然气在标准状态下的瞬时流量为：
式中：
qn——标准条件下的瞬时流量，m3/h；
z，zn——分别为操作和标准条件下的压缩因子，无量纲；
p，t——分别为操作条件下的气体压力和温度，kpa、k；
pn，tn——分别为标准条件下的气体压力（101.325kpa）和温度（293.15k）。
空气、氧气和氮气等湿气体在标准状态下的瞬时流量为：
式中：
φ，φn——分别为操作和标准条件下的相对湿度，%；
psmax——温度为t时水蒸汽的最大压力，kpa；
pnsmax——温度为tn时水蒸汽的最大压力，kpa；
其余同上。
2 差压式流量计数学模型
差压式流量计是基于流体流动的节流原理，利用流体流经节流装置时产生的上下游压力差而实现流量测量的。如孔板流量计的节流装置由标准孔板、取压装置和上下游直管段组成，标准孔板是一块由机械加工形成的圆形穿孔的薄板，它的节流孔圆柱面与孔板上游端面垂直，边缘尖锐[4]。其原理是气体通过节流孔时产生压降，通过测量压力差来计算气体流量，由于没有运动部件，性能稳定可靠且使用期限长[5]。对于孔板、喷嘴和文丘里管节流装置，气体在操作条件下的体积流量计算公式为：
式中：
c——流出系数，通过节流装置的实际流量值与理论流量值的比值，无量纲；
β——节流孔或喉部的直径与上游测量管内径的比值，无量纲；
ε——可膨胀系数，用于修正当气体通过节流件时密度的变化引起的流量变化，无量纲；
d——节流孔或喉部直径，m；
δp——在上下游取压孔位置上取得的静压力之差，pa；
ρ1——操作条件下气体在上游取压孔处的密度，kg/m3。
v锥流量计是基于文丘里管测量原理的以一个同轴安装在测量管内的尖圆锥体作为节流件的差压式流量测量装置，它将节流布局从中心孔节流改为环状节流，在流体流经内锥体时会在其周围形成边界层并疏导流体离开锥体尾部边缘，从而减少节流件磨损。对于v锥节流装置，气体在操作条件下的体积流量计算公式为：
式中：
β——节流件等效直径比，其值为，无量纲；
d——上游测量管内径，m；
d——圆锥体外径，m；
其余同上。
接下来分析各种不同类型节流装置的流出系数c、可膨胀系数ε和气体密度ρ1的求解过程。流出系数c为通过节流装置的实际流量与理论流量之间关系的系数，利用不可压缩流体对节流装置的校准表明在一定的安装条件下，流出系数c仅与雷诺数有关[6]。只要节流装置几何相似，在雷诺数相同的情况下流出系数c是相等的。孔板流量计的流出系数c计算公式为：
当d＜71.12mm时，c=c1 c2；当d≥71.12mm时，c=c1。
式中：
red——管径雷诺数，无量纲；
l1——孔板上游端面到上游取压孔轴线的距离与测量管内径的比值，无量纲；
l2——孔板下游端面到下游取压孔轴线的距离与测量管内径的比值，无量纲。
可膨胀系数是考虑到流体的可压缩性而使用的系数，其值取决于压力比和等熵指数。将可膨胀系数应用于理论方程用以调节气体在通过孔板时密度的减小引起的流量变化[7]，孔板流量计的可膨胀系数按下式计算：
式中：
τ——孔板下游气流与上游气流绝对静压力的比值，无量纲；
к——等熵指数，无量纲。
喷嘴节流装置根据内部结构的不同可分为isa1932喷嘴、长径喷嘴和文丘里喷嘴，喷嘴在管道内的部分是圆形的，由圆弧廓形的收缩部分和圆筒形喉部组成[8]。isa1932喷嘴的流出系数由下式计算：
长径喷嘴由四分之一椭圆状收缩入口和圆筒喉部组成，其圆筒喉部比isa1932喷嘴要长，长度达到了喉部直径的0.6倍。其流出系数计算式为：
文丘里喷嘴与上面两种喷嘴有很大的区别，它的上游部分结构与isa1932喷嘴相同，但它增加了一个扩散段，这种结构的压力损失会更低。其流出系数按下式计算：
喷嘴流量计的可膨胀系数按下式计算：
文丘里管由入口圆筒段、圆锥收缩段、圆筒喉部和圆锥扩散段依次连接而成[9]，它与v锥流量计的流出系数直接由厂家标定给出。文丘里管的可膨胀系数可由式（13）计算，v锥流量计的可膨胀系数计算公式为[10]：
利用干空气的摩尔质量、干空气在标准条件下的压缩因子和天然气相对密度，可推导出操作条件下天然气在上游取压孔处的密度为：
式中：
p1——操作条件下天然气在上游取压孔处的静压力，mpa；
gr——天然气相对密度，无量纲；
其余同上。
天然气相对密度由压缩因子计算时作为参数输入或在知道天然气详细组分摩尔分数的情况下由下式计算：
式中：
xj——天然气各组分的摩尔分数，无量纲；
gij——天然气各组分的理想相对密度，无量纲。
空气、氮气和氧气等湿性气体的密度应该由湿气体的干气部分和水蒸汽部分相加得到：
式中：
ρn——标准条件下的气体密度，kg/m3；
ρsmax——操作条件下水蒸汽的最大密度，kg/m3；
其余同上。
蒸汽根据状态可分为饱和蒸汽和过热蒸汽，当水分子的蒸发与凝结处于动平衡状态时，空间中蒸汽分子的密度保持不变，此时的状态称为饱和状态。当蒸汽达到饱和状态后如果继续加热则温度会上升，成为过热蒸汽。饱和蒸汽的压力和温度是有线性关系的，因此只要测得温度或压力即可通过查表得到蒸汽密度，而过热蒸汽则同时需要压力和温度通过查表获得蒸汽密度。
天然气在标准条件下的体积流量可由式（3）计算得到，氮气、氧气等湿气体在标准条件下的体积流量可由式（4）计算得到，蒸汽的质量流量和热量流量分别由操作条件下的体积流量乘以蒸汽密度和热值即可得到，蒸汽热值与密度一样通过查表得到。
3 数学模型的计算处理
脉冲输出式流量计高频和低频脉冲信号的单片机处理方式有些不同。对于高频信号只需测得间隔时间内的脉冲数即可计算流量值，而低频脉冲信号需要精确测量间隔时间内测得的脉冲数所占用的时间，因此利用定时器对32.768khz晶振输出的信号计数累计时间，使用外部中断测量低频脉冲数从而求出流量值，两个脉冲信号的间隔时间测量流程如图1所示。
图1 两个低频脉冲信号的间隔时间测量流程
figure 1 interval time measurement of two low-frequency pulse signals
可以看出差压式流量计的数学模型计算公式有很多的幂运算，这样的运算对运行频率相对较低的单片机来说运算负荷是相当大的。另外由于在流量计的计量现场一般没有外电源，体积修正仪的内置锂电池模块通常需要连续工作几年以上，因此需要尽可能快速地完成数学模型计算工作以进入休眠状态降低功耗。因此对于一些数学运算在不影响精度的情况下可以采用快速的计算方法，如对于平方根的运算可以运用牛顿迭代法来近似求解，算法如下[11]：
float invsqrt(float x)
{
float xhalf = 0.5f * x;
int i = *(int*)&x;
i = 0x5f375a86 - (i >> 1);
x = *(float*)&i;
x = x * (1.5f - xhalf * x * x);
return x;
}
如需要更高的精度，则可以重复运行第7行的牛顿迭代式。对运算量较大的公式可以采用根据变量的取值范围预先建立数据表格的方法，使用时再根据输入变量的值查询表格中的数据并进行线性插值计算。在建立数据表格时需要对线性插值的计算值与公式实际计算值进行误差比较，以适当调整变量步长以保证计算精度。
如孔板的流出系数c的计算只与节流孔与测量管内径的比值β和管径雷诺数red有关，因此可根据β和red的取值范围建立数据表格，需要时再通过查询值进行精确插值计算，如图2所示。
图2 线性插值计算示意图
figure 2 linear interpolation calculation diagram
计算流程如图3所示，为了计算c的值，需要先查询表格中相邻四点的流出系数值c1、c2、c3和c4，再利用线性插值计算流出系数c的值：
图3 查表计算流程
figure 3 query table and calculation process
4 结语
本文通过对不同工作原理的流量计用于多种介质测量及输出多种类型信号输出的数学模型进行分析及研究，以使在同一台体积修正仪能与不同工作原理流量计配套使用，特别是速度式、容积式和差压式使用同一台体积修正仪并实现多种介质的准确测量，体积修正仪实现了通用气体流量计量的功能。
参考文献
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[9] 国家质量监督检验检疫总局.gb/t 2624.4-2006用安装在圆形截面管道中的差压装置测量满管流体流量 第4部分：文丘里管[s].2006：1-7.
[10] 李波，张涛，白龙，等.基于有效数据分析的内锥流量计可膨胀系数研究[j].工业计量，2013，23（3）：7-11.
[11] lomont chris.fast inverse square root[eb/ol].[2018-02-01].http://www.lomont.org/math/papers/2003/invsqrt.pdf.
修改稿收到日期：
第一作者 吴富伟（1984—），男，学士，工程师，现为上海理工大学仪器仪表工程专业在读硕士研究生，主要从事流量测量方向的研究。e-mail：wufw@tancy.com。
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